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求墨子论证无穷的原文


发布日期:2020-02-06 12:09   来源:未知   阅读:

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  《墨子》中“经上”、“经说上”、“经下”、“经说下”四篇含有很多逻辑和科学的内容,合称为《墨经》(或谓《墨经》更含“大取”和“小取”二篇)。它也是中国古代关于无限思想的重要文献。本文将对其中的无限思想作一比较全面、系统的讨论,以教于方家。

  “经上”云:“宇,弥异所也”[1],用“宇”字表示整个空间;又云:“久,弥异时也”[1],用“久”字来表示整个的时间。这是对时间和空间的简单限定。“经下”进而讨论了时空有穷无穷的问题,其第63条云:

  经:宇进无近,说在敷[2]。经说:宇○伛不可偏举,宇也。进行者,先敷近,后敷远[3]。

  经:行修以久,说在先后[2]。经说:行者○行者,必先近而后远。远近,修也:先后,久也;民行修必以久也。久,有穷无穷[4]。

  第64条,用远近来说明距离(“修”),用先后来说明时间;认为经过一定的距离必定需要一定的时间。这含有以运动联系时间和空间的思想。“久,有穷无穷”,明确肯定了时间既是有限(一段)又是无限(整个时间)的。

  “久”既然无穷,那么“宇”是不是也无穷呢?。梁启超认为第63条是说“空间远近的观念不过是相对的,其实无所谓近远也。立乎后至之处,则强指前至者为近耳,故曰‘宇进无近’”[6]。他断定“无近”就是“无所谓远近”是没有根据的;而《墨经》本身也未暗示“立乎后至之处”来“强指先至者”,相反倒是说“先敷近,后敷远”;若依梁氏把第64条的“行者……必先近而后远”放在第63条之末,则更显梁说之不合理。我们认为这条如谭戒甫[5]、方孝博[7]所说,是讲空间无限的问题。“经”的意思是“宇”无穷无尽,不能一步一步地走到尽头;既然如此,“宇”中的不同区域也就多到不能遍举了。

  《墨经》不仅认为时间和空间都无限,并隐含有运动无限的思想;而且用一个长度单位来界定无穷大。“经上”第41条云:

  经:穷,或有前不容尺也[1]。经说:穷○或不容尺,有穷;莫不容尺,无穷也[8]。

  此条注家的解释众说纷纭。我们认为[9]钱宝琮的解释最为精当:“用尺来度量路程,如果量到前面只剩不到一尺的余地,那末, 这路程是‘有穷’的。如果继续量前面总是长于一尺,那末,这路程是‘无穷’的”[10]。这可以用符号转化为下述的命题: 设A为一射线或其上一段,R= 一尺;那么,1).如果存在一个自然数n,使得A—nRR,则A是有穷的; 2).如果对于任意的自然数n,都有A—nR≥R,则A是无穷的。

  这里1)相当于所谓“阿基米德公理”----“对于任意的两个正实数a、b,必定存在 一个自然数n,使得nab”[11]的逆命题。据徐克明新近的考证[12],“经说”大约在公元前4世纪中叶靠前编定;阿基米德公理以及与之相关的《几何原本》卷Ⅹ命题Ⅰ的知识都在欧多克索(或译作攸多克索,Eudoxus,约前4世纪上、中叶)时代已经具备[13],二者时代大致同时。

  这个命题与阿基米德公理从不同侧面讨论问题。后者留有古希腊由于对无穷的问题发生了困惑而极力避免使用这个概念的古典传统的烙印,尽管阿氏后来使用了不可分量来寻求解决问题的办法,但仍要用穷竭法来证明他的结论[13]。前者用一个度量单位来界定有穷与无穷,具有明显的数学意义,这是中国古代对无穷大的一个成功定义,它着眼于在承认无穷大概念的前提下揭示其本质,达到了中国古代对无穷大认识的高峰。

  “端”即点,自陈澧首倡其说[16],几无疑义。然具体理解和文字校勘存在分歧。王引之谓“序”乃“厚”之形讹[14],伍非百[17]、梁启超[18]、钱宝琮[19]、高亨[20]、牟钟鉴[21]等从之,他们认为“无厚”就是没有大小、广狭、厚薄。陈澧则认为“序”字不误[16],范耕研[22]、谭戒甫[23]、鲁大东[24]、陈孟麟[25]、史墨卿[26]、方孝博[27]等从之,而释义稍异。在坚持“序”字不误的一类观点中,一种看法认为“无序”即无与为次序,因“最前”本身即指次序而言[28],故此说难以自圆;另一种认为“序”与“绪”通假,绪即余,“无序”即“无余”,也就是分割到最后没有育剩余,此亦难通。此条“端”即最后之剩余,安得谓“无余”哉?而况此条并未言及分割呢。还有的说“无序”就是“无分”,然不见训诂上的根据。梅荣照曾提出“序”字乃“度”之误[29],后来又承认“仍需进一步验证,因为《墨经》中未曾使用过‘无度’这个词”[28],不过《墨子》中倒有所见,但与梅氏的期望相反,“无度”不是说量度为零,而是没有限度,其它古籍中也时有此词,而或为此义,或指没有法度、不合规矩。可见改“序”为“度”的确缺乏根据。

  关于“序”为“厚”的形讹之说,有些人提出两条疑问,一是今本晋鲁胜《墨辩注叙》[30]有“无序之辩”一语,此可作为“序”不误的证据[31];二是“无厚”虽然没有厚度但可能有长度或宽度,“无厚”可以是线或者面。对于第一点,牟钟鉴认为作为鲁胜所列先秦四大辩题之一的“无序”之辩,在现存先秦文献中却“毫无踪迹可寻,是不可思议的”,而“无厚”之辩则很常见的,所以《墨辩注叙》中的“无序”和此条中的一样,都是“无厚”之误[21]。据查《墨经》中除此条外,再无“无序”一词,《墨子》全书亦不曾见。而《庄子》、《礼记》等中虽有“无序”一词,却都指乱了正常的伦理或政治秩序,此义于《墨经》此条显为不合。《墨经》中“无厚”却有两见,其它子书中亦见“无厚”一词(有的还有“有厚”),可见“无厚”是当时诸子常常使用的一个范畴,而今本《墨辩注叙》中关于名辩的其它用语如“坚白”、“两可”、“同异”、“形”、“色”等等,亦都与今所能见的子书相合,可见“无序”的确很有可能是“无厚”之讹。关于第二点,我们认为“厚”字当不限于长宽高厚的“厚”字之义。《说文》云“ ,山陵之厚也,从 从厂。垕,古文厚,从后、土”[32]。可见“厚”字原本与现在讲的“长宽高厚”的“厚”字也意义不尽相同。前6世纪的辩者邓析已讨论政治和宗教上的“有厚”、“无厚”[33],儒家提倡“厚葬久丧”,《墨子》“节葬下”记载墨子说“王公大人有丧者”“棺 必重,葬埋必厚,衣衾必多,文绣必繁,丘陇必巨”[34],此处“厚”和“重”、“多”、“繁”、“巨”等字并举,显然是说葬品很多的意思,可见这“厚”字很早就已含有量多之义。下文我们将指出这个“久”字既表示时间长也表示时间的量的多少,我们为认为“厚”字也有这种情形,也具有这种双重意义,《墨经》此条的“厚”就是一个东西的量的意思,这在《墨经》中还可以找到别的证据。“经上”云“厚,有所大也”[14],对应的“说”云“厚,惟(无厚)无所大”[35],说“厚”就有一定的大小,“无厚”就是没有一定大小(我们可以理解为量度为零),这个“大小”可以是长度、宽度的大小,也可以是面积或体积的大小,到底是哪一样得根据具体情况而论。由于《墨经》本身没有用明确的界定来区分(这应该是当时的普遍情况,虽然《墨经》也有一些被今天的研究者称为定义的界定),所以其他的学派可以应用同样的概念设另外的命题来与之对立。惠施说“无厚不可积也,其大千里”[36],就可能是抓住这点,指出一个面无厚(没有厚度)但面积却可以大到千里(也可能是没有宽度和厚度的线长达千里),以示不同。

  此条经谓“端”是(一个东西的各个部分中的)在最前面而且量度为零的那个部分[37]。

  关于“经说”,各家校勘亦有分歧。1.维持原样。 1).陈澧说:“《几何原本》又云:“直线止有两端,两端上下更无一点,即所谓无同也”[16]。此于文字不属。 2).邓高镜[31]、杨宽[38]等则认为是说这“无厚”的“端”与“无”相同。此于《墨经》本旨不合。《经说上》说“体”(部分)和“兼”(全体)的关系若“二之一,尺之端”[39],《经说下》到谈到“有”、“无”的关系时说“若无‘焉’,则有之而后无;无‘天陷’,则无之而无”[40],可见“端”虽然其量度为零,但《墨经》仍把它看作“兼”中的“体”,而不可能看成是和《墨经》“无”的观念相同的东西。2.梁启超认为“间”字为“同”的形误[18],范耕研[22]、钱宝琮[19]、牟钟鉴[21]等从其说。这种校改不仅释义可通,而且《墨经》中多次出现“有间”、“无间”可资旁证。但“间”字的繁体与“同”(无繁体)字还不能说很相似。3.高亨在“无”和“同”字之间添一“不”字,认为这是说各个“端”是相同的[20]。这样“经说”就和“经”从不同的侧面讨论了“端”的性质。这种处理在释义上没有问题,而且有两个点优点,一是说各个“端”“无不(相)同”和“经(说)下”第60条说“端”不仅可在两端而且可以在中间的观点相一致,还跟“经说上”讲的“端与端俱尽”[41]相吻合。虽然我们倾向于高说,但梁校也很有道理,何况“间”和“同”的草写也比较接近,所以姑且两存之。

  《墨经》不仅从量度方面考虑了“端”,还从分割的方式讨论了它。“经下”第60条云:

  经:非半弗 ,则不动;说在端[42]。经说:非○半 ,进前取也。前,则中无为半,犹端也。前后取,则端中也。 必半 ;毋与非半,不可 也[43]。

  此条高亨的解释与众不同。他说:“名墨之异,乃对于‘其’字之解释不同”,“名家所谓‘其’第一日代全棰,第二日代半棰,第三日代半棰之半,以此类推”,于是名家分棰,便万世不竭;而墨家所谓“其”字“乃代全棰也”,于是墨家分棰“取二日而竭。”[44]如是则名墨之异,全在模糊的文字上玩游戏耳。今按,高氏于44字的条文中校改达11处之多,而俱无确证,实难服人,而况《墨经》此条并未出现“其”呢。其他的解释则无多大分歧。此条是说分割一个长形的东西,先斫去一半,再斫去余下之半,如此不断的分割下去,最后会达到不能再分割成半的地步,这便得到一个“端”,而由于分割的方式不同,得到的“端”位置也不同,从一端往另一端斫,则“端”在两头,从两头往中间斫,则“端”在中间。“毋”和“非半”(不能分割成两半者),都是不能再斫为两半的。

  关于“端”是几何上的点还是物质上的微粒,曾引起广泛的争论。其实,这种区分在《墨经》中不是泾渭分明的,这是人类认识的早期理论思维发展尚不成熟的表现[21]。“端”量度为零而又不是“无”,这是一种不可分量的观念。这种思想在《墨经》对时间的认识上也有体现。“经上”第43条:

  有人认为整个时间有一个开始即“始”,其时尚未历久;谭戒甫则认为“有久”乃“就古今旦暮分言之”,“无久”乃“就古今旦暮合言之”[45];他们都对墨家与道家思想的区别认识不足,其解释多属意测而又迂回曲折,难合人意。钱宝琮说这条“分析‘时’有‘有久’和‘无久’两个意义,‘有久’的时是时间,‘无久’的时是瞬间。‘始’是‘无久’的瞬间”,和上面讨论的那条“说明‘端’是‘无厚’的体,意义是相仿的。”[10] 这是很精到的论述。我们认为正如“长”、“广”、“高”、“阔”可以作形容词,与“短”、“狭”、“低”、“窄”相对,又可作名词,指长度、宽度、高度一样;“久”字也具有这种双重意义。此条中的“久“就是指时间的长度(今天我们说“你到北京多久了”,似还保留有这种意义),“有久”就是有时间长度,“无久”即是没有时间长度或曰时间长度为零。《墨经》认为存在“无久”的时间并用“始”来表达。“端”和“始”量度都为零但都不是“无”。

  谭戒甫认为“此似言圜之切点与切线,盖圜乃无端,从其底边画线,必有相切之处,所谓柢也。以其为圜,则无一非柢”[46]。牟钟鉴同意谭说,认为此条是说一个轮子在地上滚动,其边缘由点组成,每一点随着轮的滚动而都会与地面相接触[21]。这是很有见地的。

  经:景不徙,说在改为[42]。经说:景○光至景亡,若在,尽古息[47]。

  这条认为影子是不移动的,我们看到影子的移动,只是各个时刻的不同影子出现在不同的位置而造成的印象。

  经:止,以久也[48]。经说:无久之不止,当牛非马,若矢之过楹。有久之不止,当马非马,若人过梁[35]。

  此条“当牛非马”和“当马非马”不好解。徐克明[49]、谭戒甫[01]等以为说的是运动物体在没有外力阻止它和有外力阻止它这两种情况下都不停止,他们把“久”解释为拒、阻抗。这种解释就“经”,和“说”中“无久之不止”与“有久之不止”来讲,是说得通的;但不仅“当牛非马”和“当马非马”没解释好,而且对“若矢之过楹”和“若人过梁”也解释得很牵强。本人认为可以这样解释:“有久”、“无久”仍分别指一段时间、某个时刻[51],“经”谓静止也是从时间观念上体现出来的。《墨经》认为时刻(“无久”)也是时间的组成部分。一方面,若一物体在每一时刻静止,墨者是难以想象它在一段时间上会是运动的(这实际默认了时间由时刻组成)。所以运动物体在一个时刻上运动,正如飞箭穿过门楹(一晃即过)、我们觉得它在运动一样。至于一段时间上的运动,则更加好理解,正如人走过津梁一样。另一方面,一个运动物体在一段时间内运动一段距离,随着时间的缩短,运动的距离也越来越短,时间缩短到零时,运动的距离也缩短到零,由于当时还远没有发展出瞬时速度的概念来,这样古人自然又对物体在“无久”的时刻是否运动产生了怀疑。我们认为“经下”的“景不徙,说在改为”命题的提出正是墨者意识的这种矛盾的反映,说影子是在改换而不是在移动,是对后者的承认;说“景(影)不徙”而不说“飞矢不动”是对前者的回避,因为“景”毕竟不是实物,“光至”则“景亡”。

  经:无穷不害兼,说在盈否[52]。经说:无○南者,有穷则可尽,无穷则不可尽。有穷无穷未可智,则可尽不可尽未可智。人之盈之否未可智,人之可尽不可尽亦未可智。而必人之可尽而爱也,悖。人若不盈无穷,则人有穷也,尽有穷无难。盈无穷,则无穷尽也;尽无穷无难[53]。

  郭书春认为“经”“不仅指人之兼爱,也包含这样的意思:把一个整体分解成无穷多个部分,是不是能用这些部分重新构成这个整体(害不害兼)取决于是不是用这些部分的全体来构成这个整体。如果用全体(盈),就不害兼,如果不用全体(否),就害兼。”[54] 这个解释,可以用集合论的方法表示如下:Ⅹ为全集,I为无穷集,II,对于任意的i和j,当i≠j时,Ⅹi∩Ⅹj=φ。已知 。那么 是否成立,就取决于I=I 是否成立。这个解释至少可以得到如下几点支持。首先,《墨经》四篇中此处以外的含“兼”字者凡五,无一不是“全体”的意思,而皆与兼爱无涉。其次,《墨经》把“始”和“端”这样无量度的东西,都分别作为时间和空间或物体的一部分,而不是看成什么都没有,可见作者是不会忽视任何一个部分对全体的作用的。此外,墨家认为含有无穷个部分的全体之每一部分对构成全体都不可或缺的观点,还和本条“说”之所谓“人若不盈无穷,则人有穷”(尽管这是一个错误的观点)相一致。可见,郭的解释从与《墨经》思想的统一性上看是站的住脚的。不过,从文字上看尚有缺点。按这个解释,“经”的文字有省略,得补足为“(体之数量)无穷不害兼(否),说在(体)盈(兼)否”。若把这个解释施之兼爱,则更须多添,成为“(人数)无穷不害兼爱(否),说在(被爱之人)盈(此无穷之人)否”。所以,要把郭对“经”的解释与“说”统一起来,还有一定困难的。

  绝大多数人都认为“经”也只讲兼爱:不管盈不盈无穷,都不影响兼爱。这也需补足一些省略的文字,而且理解起来更费琢磨。“经”的“无穷”,到底是地域无穷还是人数无穷,大都语焉不详。对“说”的解释,许多释者也存在同样的问题。高亨的解释比较明白,大体可以反映这类解释的情况。他认为“经”说的是地域无穷并不影响兼爱,不论人是否充满此域。“说”围绕这两方面展开,含有两项内容。一项从开始到“悖”字止,是“难者诘墨家之辞”:南方如有穷,则人可以尽其域;如无穷,则人不能尽其域。南方是否无穷还不知道,则人是否尽其域也不知道。人在大地之域中,是否盈于域,尚未可知,那么人是否盈于域也是未可知的。“则吾或可以尽其人,或不可尽其人,亦未可知也”,而 断定人之可尽爱也,则谬矣”。“悖”字至最后为第二项,即墨者答难者之辞:“人若不盈于域,是人先穷也。则域纵无穷,而人有穷也。”人既有穷,则尽此有穷之人不难也。“人若盈于无穷之域,有域之处即有人,则域之无穷,人能尽之矣”。“无穷之域、人既尽之,是域又有穷也。域既有穷,吾人尽此有穷之域,亦不难也”[55]。

  即使这样,也还有一些地方不明确。“人尽其域”是说人能够占满那个“域”还是说人能够达到这个域的各地以便统计此域中之人? 由于下文有“人之盈之否”一类的线条有所谓“问者”,墨家通过“尽问人”来兼爱不知其数的人,所以我们认为“人尽其域”的意思还是属于后一项。“尽其人”的意思, 是“尽爱其人”还是列举或数尽这些人? 看来也是后一种情况,因为“尽其人”还是作为“人之可尽爱”的一个前提来使用的。

  人能够列举尽而后可一个个地爱到,这才是兼爱成不成问题的一个关键。这位“难者”(范耕研是说假想的[56])看来水平不高,因为域若有穷,则不管人是否盈于此域,人就可以尽举;而在域无穷的时候,人是否盈于此无穷之域,才可能对兼爱产生影响。这就怪不得墨家只对无穷之域的盈与不盈两种情况讨论了。墨家认为人若不盈此无穷之域,则人便有穷,这是一个错误的观点,因为哪怕只盈此无穷之域的一半,人数也还是无穷的。对于人盈无穷之域的情况,他(们)说“盈无穷,则无穷尽也,尽无穷无难”,这是强词夺理。“盈无穷(之域)”只能得出无穷之域为人所尽占的结论,根本就没有涉及无穷之域中的人能否尽爱。这虽是一种偷换概念的作法,但认为无穷去掉一点就不是无穷而变成了有穷的观点,不仅和前面认为“莫不容尺”才无穷的思想存在一致性,亦与郭对“经”的解释思想相吻合。《墨经》此条的本意究竟怎样,要完全肯定是困难的。郭对“经”的解释虽有缺点,其思想倒是和刘徽割圆术的思想相契合。魏晋时期思想活跃,墨家在受到四五百年的冷落之后,重新为学术界重视,研究《墨经》的当不止鲁胜一家,刘徽的割圆术受《墨经》此条。

  原文:无,南者有穷则可尽,无穷则不可尽。有穷无穷未可智,则可尽不可尽未可智。人之盈之否未可智,而人之可尽不可尽亦未可智。而必人之可尽爱也,悖。人若不盈无穷,则人有穷也。尽有穷无难。盈无穷,则无穷尽也,尽无穷无难。

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